Question

設正項等比數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₂=2，a₃a₄a₅=2⁹．
（1）求首項a₁和公比q的值；
（2）試證明數列{log_ma_n}（m＞0且m≠1）為等差數列．

Answer 1

解：（1）∵a₃a₄a₅=（a₄）³=2⁹?a₄=2³=8（a₄＞0），（3分）
∴，（5分）
又由a₄=a₁q³，即8=a₁•2³，解得a₁=1．（7分）
（2）證明：由（1）知，a_n=2^n-1．（9分）
設b_n=log_ma_n，則b_n=log_m2^n-1=（n-1）log_m2．（12分）
∵b_n+1-b_n=nlog_m2-（n-1）log_m2=log_m2=常數，
∴數列{b_n}為等差數列，即數列{log_ma_n}（m＞0且m≠1）為等差數列．（14分）
分析：（1）根據等比數列的性質，化簡a₃a₄a₅=2⁹，得到a₄的值，然后利用a₄比上a₂，即可列出關于公比q的方程，求出方程的解得到q的值，然后由a₄的值和q的值即可求出首項a₁的值；
（2）把（1）求出的通項公式代入數列{log_ma_n}中，得到b_n的通項公式，表示出b_n+1-b_n的差，利用對數的運算性質化簡后，得到其差為常數，從而得到數列{log_ma_n}為等差數列．
點評：此題要求學生掌握等比數列的性質，靈活運用等比數列的通項公式化簡求值，掌握等差數列的確定方法．學生做題時注意等比數列{a_n}的各項為正數，熟練運用對數的運算性質．