Question

設P是△ABC內一點，△ABC三邊上的高分別為h_A、h_B、h_C，P到三邊的距離依次為l_a、l_b、l_c，則有

la

hA

+

lb

hB

+

lc

hC

=1；類比到空間，設P是四面體ABCD內一點，四頂點到對面的距離分別是h_A、h_B、h_C、h_D，P到這四個面的距離依次是l_a、l_b、l_c、l_d，則有

la

hA

+

lb

hB

+

lc

hC

+

ld

hD

=1

．

Answer 1

分析：在平面中利用面積分割法，結合三角形面積公式證出

la

hA

+

lb

hB

+

lc

hC

=1，結論成立．依此可得當P為四面體ABCD內一點時，利用體積分割法和錐體的體積公式，類似于平面中結論的證明方法可得

la

hA

+

lb

hB

+

lc

hC

+

ld

hD

=1，得到本題答案．

解答：解：如圖，連結PA、PB、PC，可得
S_△ABP+S_△BCP+S_△CAP=S_△ABC，
即

1

2

AB×l_c+

1

2

BC×l_a+

1

2

CA×l_b=S_△ABC，…（1）
∵S_△ABC=

1

2

AB×h_C=

1

2

BC×h_A=

1

2

CA×h_B
∴在（1）式的兩邊都除以S_△ABC，得

lc

h C

+

la

h A

+

lb

h B

=1
即

la

hA

+

lb

hB

+

lc

hC

=1，即平面內的結論成立
當P為四面體ABCD內一點時，V_P-BCD+V_P-CDA+V_P-ABD+V_P-ABC=V_D-ABC，
兩邊都除以V_D-ABC，得

VP-BCD

VD-ABC

+

VP-CDA

VD-ABC

+

VP-ABD

VD-ABC

+

VP-ABC

VD-ABC

=1
類似平面中結論證明的方法，可得

la

hA

+

lb

hB

+

lc

hC

+

ld

hD

=1
故答案為：

la

hA

+

lb

hB

+

lc

hC

+

ld

hD

=1

點評：本題給出三角形ABC內一點P滿足的等式，要求給出空間四面體的一個類似結論．著重考查了三角形面積公式、錐體的體積公式和類比推理的一般方法等知識，屬于中檔題．