Question

已知f（x）是定義在[－1，1]上的奇函數．當a、b∈[－1，1]，且a＋b≠0時，有．

（Ⅰ）判斷函數f（x）的單調性，并給以證明；

（Ⅱ）若f（1）＝1且f（x）≤－2bm＋1對所有x∈[－1，1]，b∈[－1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）證明：設，且，在中， 令，，有， ∵  ，∴     又∵  f（x）是奇函數，∴  ∴  　     　∴  ，即， 故f（x）在[－1，1]上為增函數． 　　（Ⅱ）解：∵  且f（x）在[－1，1]上為增函數， 對x∈[－1，1]，有f（x）≤f（1）＝1． 由題意，對所有的x∈[－1，1]，b∈[－1，1]，恒成立，應有． 　　      記，對所有b∈[－1，1]，g（b）≥0成立． 只需g（b）在[－1，1]上的最小值不小于零． 　　      若m＞0時，g（b）＝是減函數， 故在[－1，1]上，b＝1時有最小值， 且； 　　      若m＝0時，g（b）＝0這時滿足已知，故m＝0； 若m＜0時，是增函數，故在[－1，1]上， b＝－1時有最小值，且． 　　      綜上可知，符合條件的m的取值范圍是：．