Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足f（x＋1）＝－f（x）。當x［0,1］時，f（x）＝－x，若g（x）＝f（x）－m（x＋1）在區間（－1,2］有3個零點，則實數m的取值范圍是

A．（－，）

B．（－，］

C．

D．

Answer 1

B

試題分析：根據題意，可求出f（x）區間（-1，2]上的分段函數的表達式，然后在同一坐標系內作出y=f（x）和y=m（x+1）的圖象，觀察直線y=m（x+1）的斜率m變化，可得直線y=m（x+1）位于圖中AB、AC之間（包括AC）活動時，兩個圖象有三個公共點，由此求出直線AB、AC的斜率并與實數m加以比較，即可得到本題的答案．解：設得x+1∈[0，1]，此時f（x+1）=-（x+1）=-x-，
∵函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x）

∴當-1≤x≤0時，f（x）=x+．又∵f（x+2）=-f（x+1）═-[f（-x）]=f（x）∴f（x）是以2為周期的函數，可得當1≤x≤2時，f（x）=f（x-2）=x-綜上所述，得f（x）區間（-1，2]上的表達式為f（x）=，
為了研究g（x）=f（x）-m（x+1）在區間（-1，2]上的零點，將其形為，f（x）=m（x+1），在同一坐標系內作出y=f（x）和y=m（x+1）的圖象，如右圖所示，y=f（x）圖象是三條線段構成的折線，y=m（x+1）的圖象是直線，因為直線y=m（x+1）經過定點A（-1，0），所以由圖象可得當直線y=m（x+1），位于圖中AB、AC之間（包括AC）活動時，兩個圖象有三個公共點，相應地，g（x）=f（x）-m（x+1）在區間（-1，2]也有3個零點，∵B（1，-0.5），C（2，0.5），，∴k_AB= 而直線y=m（x+1）的斜率為m，它在AB、AC之間（包括AC）活動時，m（，]．因此，使得g（x）=f（x）-m（x+1）在區間（-1，2]有3個零點的m取值范圍為m（，]，故選B
點評：本題給出分段函數圖象與直線有三個公共點，求直線斜率m的取值范圍，著重考查了基本初等函數的圖象與性質、直線的斜率及其變化等知識，屬于中檔題