Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PD=AD，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD．
（1）求作平面PAD與平面PBC的交線，并加以證明；
（2）求PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）直接過P作BC的平行線L，根據線面平行可以證得L即為所求；
（2）求出A到平面PBC的距離為h（可以利用等體積法），再與PA作比值，即為PA與平面PBC所成角的正弦值．
（3）取BC中點M，連PM、DM，則PM⊥BC，結合PD⊥BC，又BC∥L，可得∠DPM為所求，然后求出∠DPM的正切值即可．

解答：解：（1）過P作BC的平行線L即為所求．（2分）
因為BC∥AD，BC?面PAD，AD⊆面PAD，
所以BC∥平面PAD，
因為平面PAD∩平面PBC=L，
所以BC∥L  （5分）
（2）解：設PD=AD=1，設A到平面PBC的距離為h，
則由題意PA=PB=PC=

2

，S_△ABC=

1

2

×

3

×

1

2

=

3

4

在等腰△PBC中，可求S_△PBC=

1

2

×1×

( 2 )2- ( 1 2 )2

=

7

4

∴V _A-PBC=V _P-ABC，

1

3

×h×

7

4

=

1

3

×1×

3

4

，h=

21

7

∴sinθ=

h

PA

=

21 7

2

=

42

14

（3）由題意可知，PA=PB=PC=

2

，取BC中點M，連PM、DM，則PM⊥BC，
因為PD⊥BC，又BC∥L，
所以∠DPM為所求．（8分）
DM=DC•sin60°=

3

2

；
在Rt_△PDM中，tan∠DPM=

DM

PD

=

3 2

1

=

3

2

（12分）
即平面PAD與平面PBC所成銳二面角的正切值為：

3

2

．

點評：本題考查空間直線和直線垂直的判定．線面角求解．考查空間想象、推理論證能力．