Question

（08年山東卷理）（本小題滿分12分）

已知函數f(x)＝為偶函數，且函數y＝f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

（Ⅰ）求f（）的值；

（Ⅱ）將函數y＝f(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y＝g(x)的圖象，求g(x)的單調遞減區間.

Answer 1

【解析】（Ⅰ）f(x)＝

＝

＝2sin(-)

因為f(x)為偶函數，

所以對x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，

因此sin（--）＝sin(-).

即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),

整理得 sincos(-)=0.因為＞0，且x∈R,所以cos（-）＝0.

又因為0＜＜π，故　-＝.所以f(x)＝2sin(+)=2cos.

由題意得，所以

故　f(x)=2cos2x.

因為

（Ⅱ）將f(x)的圖象向右平移個個單位后，得到的圖象，再將所得圖象橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到的圖象.

　所以

  當  (k∈Z),

  即4kπ＋≤≤x≤4kπ+ (k∈Z)時，g(x)單調遞減.

  因此g(x)的單調遞減區間為　　　(k∈Z)