Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中點，F(xiàn)是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)的動點，且A₁F∥平面D₁AE，記A₁F與平面BCC₁B₁所成的角為θ，下列說法錯誤的是（　　）

• A、點F的軌跡是一條線段
• B、A₁F與D₁E不可能平行
• C、A₁F與BE是異面直線
• D、tanθ≤2

  2

Answer 1

分析：分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義，以及線面所成角的定義和計算分別進行判斷．

解答：解：A．設(shè)平面AD₁E與直線BC交于點G，連接AG、EG，則G為BC的中點
分別取B₁B、B₁C₁的中點M、N，連接AM、MN、AN，則
∵A₁M∥D₁E，A₁M?平面D₁AE，D₁E?平面D₁AE，
∴A₁M∥平面D₁AE．同理可得MN∥平面D₁AE，
∵A₁M、MN是平面A₁MN內(nèi)的相交直線
∴平面A₁MN∥平面D₁AE，
由此結(jié)合A₁F∥平面D₁AE，可得直線A₁F?平面A₁MN，即點F是線段MN上上的動點．
∴A正確．
B．由A知，平面A₁MN∥平面D₁AE，
∴A₁F與D₁E不可能平行，∴B錯誤．
C．∵平面A₁MN∥平面D₁AE，BE和平面D₁AE相交，
∴A₁F與BE是異面直線，∴C正確．
D．設(shè)直線A₁F與平面BCC₁B₁所成角為θ
運動點F并加以觀察，可知
當(dāng)F與M（或N）重合時，A₁F與平面BCC₁B₁所成角等于∠A₁MB₁，此時所成角θ達(dá)到最小值，滿足tanθ=

A1B1

B1M

=2；
當(dāng)F與MN中點重合時，A₁F與平面BCC₁B₁所成角達(dá)到最大值，滿足tanθ=

A1B1

2 2 B1M

=2

2

∴A₁F與平面BCC₁B₁所成角的正切取值范圍為[2，2

2

]，即tanθ≤2

2

成立．
∴D正確．
故錯誤的是B．
故選：B．

點評：本題綜合考查了空間直線和平面平行的位置關(guān)系的判斷，以及異面直線和線面所成角的大小求法，綜合性較強，計算量較大．