Question

如圖，兩條過原點(diǎn)O的直線l₁，l₂分別與x軸、y軸成30°的角，已知線段PQ的長度為2，且點(diǎn)P（x₁，y₁）在直線l₁上運(yùn)動，點(diǎn)Q（x₂，y₂）在直線l₂上運(yùn)動．
（Ⅰ）求動點(diǎn)M（x₁，x₂）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)T（0，2）的直線l與（Ⅰ）中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可知直線l₁⊥l₂，進(jìn)而可求得兩直線的方程，設(shè)出P，Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入直線方程，根據(jù)|PQ|=2求得

x12

3

+x22=1則動點(diǎn)M的軌跡方程可得．
（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，帶代入橢圓方程消去y，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用判別式求得k的范圍，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂根據(jù)∵∠AOB為銳角，判斷出

OA

•

OB

＞0，求得k的范圍，最后綜合取交集求得k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知得直線l₁⊥l₂，l₁：y=

3

3

x，l₂：y=-

3

x
∵P（x₁，y₁）在直線l₁上運(yùn)動，Q（x₂，y₂）直線l₂上運(yùn)動，
∴y1=

3

3

x1，y2=-

3

x2，
由|PQ|=2得（x₁²+y₁²）+（x₂²+y₂²）=4，
即

4

3

x12+4x22=4，?

x12

3

+x22=1，
∴動點(diǎn)M（x₁，x₂）的軌跡C的方程為

x2

3

+y2=1．

（Ⅱ）直線l方程為y=kx+2，將其代入

x2

3

+y2=1，
化簡得（1+3k²）x²+12kx+9=0，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
∴△=（12k）²-36×（1+3k²）＞0，?k²＞1，
且x1+x2=-

12kx

1+3k2

， x1x2=

9

1+3k2

，
∵∠AOB為銳角，∴

OA

•

OB

＞0，
即x₁x₂+y₁y₂＞0，?x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）＞0，
∴（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4＞0．
將x1+x2=-

12kx

1+3k2

， x1x2=

9

1+3k2

代入上式，
化簡得

13-3k2

1+3k2

＞0，?k2＜

13

3

．
由k²＞1且k2＜

13

3

，得k∈(-

39

3

， -1)∪(1， 

39

3

)．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點(diǎn)，考查了基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用．