Question

觀察下列等式
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
4³-3³=3×3²+3×3+1
5³-4³=3×4²+3×4+1
…
分析上面等式的規(guī)律，則1²+2²+3²+…+20²=

2870

．

Answer 1

分析：由已知中的等式，分析等式兩邊各項的變化規(guī)律，可得（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1，進而得到21³-20³=3×20²+3×20+1，迭加得21³-1³=3×（1²+2²+3²+…+20²）+3×（1+2+3+…+20）+20，整理可得1²+2²+3²+…+20²值．

解答：解：由已知中等式：
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
4³-3³=3×3²+3×3+1
5³-4³=3×4²+3×4+1
…
21³-20³=3×20²+3×20+1
迭加得
21³-1³=3×（1²+2²+3²+…+20²）+3×（1+2+3+…+20）+20
即21³-1³=（21-1）（21²+21+1）=9260=3×（1²+2²+3²+…+20²）+650
∴1²+2²+3²+…+20²=（9260-650）÷3=2870
故答案為：2870

點評：本題考查的知識點是歸納推理，數(shù)列求和，其中根據(jù)已知中的等式分析出（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1進而為使用迭加法求數(shù)列和創(chuàng)造條件是解答的關(guān)鍵．