Question

某企業擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的體積為立方米，且．假設該容器的建造費用僅與其表面積有關．已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為千元，設該容器的建造費用為千元．

（1）寫出關于的函數表達式，并求該函數的定義域；
（2）求該容器的建造費用最小時的．

Answer 1

（I）
（II）當時，建造費用最小時；當時，建造費用最小時

解析試題分析：（I）設容器的容積為，由題意知，又，
故，由于，因此
所以建造費用

（II）由（I）得
由于，所以，令，得
（1）當即時，
所以是函數的極小值點，也是最小值點．
（2）當即時，函數單調遞減，
所以是函數的最小值點，
綜上所述，當時，建造費用最小時；當時，建造費用最小時
考點：本題主要考查函數模型，利用導數確定函數的單調性及極值。
點評：典型題，這是山東考題，意在考查函數的應用以及導數的應用。從解題方法看，確定好函數解析式，主要運用幾何體體積公式，而求最值，主要運用導數知識，由于要進行分類討論，所以，不少考生在此失分。