Question

已知雙曲線的離心率為e，右頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)E為右準(zhǔn)線上的動點(diǎn)，的最大值為．
（1）若雙曲線的左焦點(diǎn)為，一條漸近線的方程為，求雙曲線的方程；
（2）求（用表示）；
（3）如圖，如果直線l與雙曲線的交點(diǎn)為P、Q，與兩條漸近線的交點(diǎn)為、，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：

Answer 1

,

解：（1）方法1 設(shè)雙曲線的方程為，則其漸近線的方程為，即．又∵一條漸近線的方程是，∴，得，．故雙曲線的方程為．
方法2 ∵雙曲線的一條漸近線是，即，∴可設(shè)雙曲線的方程為．∵焦點(diǎn)是，∴由得，∴，∴雙曲線的方程為．
（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、的圓C與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．
∵（當(dāng)E與M重合時取“＝”），
∴．∵，∴，又∵，
∴圓C的半徑．由正弦定理得，
∴．
（3）證明：方法1 當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，代入中得．設(shè)，線段PQ的中點(diǎn)為，則．同理，將代入漸近線方程中得
．設(shè)，線段的中點(diǎn)為，則
，∴，即線段PQ與線段有共同的中點(diǎn)．當(dāng)直線l的斜率不存在時，即直線l垂直于x軸時，由對稱性可知線段PQ與線段有共同的中點(diǎn)．∴，即．
方法2 當(dāng)直線l的斜率不存在或?yàn)榱銜r，即直線l垂直于x軸或垂直于y軸時，由對稱性可知線段PQ與線段有共同的中點(diǎn)，∴．
當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時，可設(shè)l：．設(shè)PQ的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則由點(diǎn)差法可得，且，∴點(diǎn)G、在直線：，即上．又∵點(diǎn)G、在直線l：上，∴點(diǎn)G、同為直線與的交點(diǎn)．
故點(diǎn)G、重合，∴，即．