Question

如圖，設M點是圓C：x²+（y-4）²=4上的動點，過點M作圓O：x²+y²=18的兩條切線，切點分別為A，B，切線MA，MB分別交x軸于D，E兩點。
（1）求四邊形MAOB面積的最小值；
（2）是否存在點M，使得線段DE被圓C在點M處的切線平分？若存在，求出點M的縱坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）面積最小值為；
（2）設存在點M（x₀，y₀）滿足條件，
設過點M且與圓O相切的直線方程為：，
則由題意得，，化簡得：，
設直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，則
圓C在點M處的切線方程為，
令y=0，得切線與x軸的交點坐標為，
又得D，E的坐標分別為，
由題意知，
用韋達定理代入可得，，與聯立，得。