Question

（1992•云南）證明不等式1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

（n∈N^*）

Answer 1

分析：證法一：利用數學歸納法證明（1）當n=1時，驗證不等式成立；（2）假設n=k（k≥1）時，不等式成立，然后證明當n=k+1時，不等式也成立．即可．
證法二：構造函數f（n）=2

n

-(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)，通過函數單調性定義證明f（k+1）＞f（k）
然后推出結論．

解答：證法一：（1）當n=1時，不等式左端=1，右端=2，所以不等式成立；
（2）假設n=k（k≥1）時，不等式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＜2

k

，
則

1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 k+1 ＜2 k + 1 k+1

= 2 k(k+1) +1 k+1 ＜ k+(k+1)+1 k+1 =2 k+1 ，

∴當n=k+1時，不等式也成立．
綜合（1）、（2）得：當n∈N^*時，都有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

．
證法二：設f（n）=2

n

-(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)，
那么對任意k∈N?^* 都有：

f(k+1)-f(k)=2( k+1 - k )- 1 k+1

= 1 k+1 [2(k+1)-2 k(k+1) -1]

= 1 k+1 •[(k+1)-2 k(k+1) +k]= ( k+1 - k )2 k+1 ＞0

∴f（k+1）＞f（k）
因此，對任意n∈N^* 都有f（n）＞f（n-1）＞…＞f（1）=1＞0，
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

．

點評：本題考查數學歸納法證明不等式的應用，構造法與函數的單調性的應用，考查邏輯推理能力，計算能力以及轉化思想．