Question

設x²+ax+b²=0是關于x的一元二次方程
（1）若a，b是分別從{1，2，3，4}，{0，1，2}中任取的數字，求方程有實根的概率．
（2）若a，b都是從區間[-1，1]中任取的一個數字，求方程有實根的概率．

Answer 1

分析：根據題意，由一元二次方程的性質，可得x²+ax+b²=0有實根的充要條件為a²≥4b²，
（1）由題意分析可得，這是古典概型，由a、b分別從{1，2，3，4}，{0，1，2}中任取的數字，易得一共可以得到12個不同方程，對a分情況討論，可得滿足a²≥4b²的全部情況數目，結合古典概型公式，計算可得答案；
（2）由題意分析可得，這是幾何概型，將-1≤a≤1，-1≤b≤1表示為平面區域，進而可得其中滿足a²≥4b²的區域的面積，由幾何概型公式，計算可得答案．

解答：解：根據題意，方程x²+ax+b²=0有實根的充要條件為a²≥4b²
（1）由題意，a，b是分別從{1，2，3，4}，{0，1，2}中任取的數字；
則a有4種取法，b有3種取法，共有12不同的情況，可以得到12個不同方程，
當a=1時，b=0，滿足a²≥4b²，有1種情況滿足方程有實根；
當a=2時，b=0、1，滿足a²≥4b²，有2種情況滿足方程有實根；
當a=3時，b=0，1；滿足a²≥4b²，有2種情況滿足方程有實根；
當a=4時，b=0、1、2，滿足a²≥4b²，有3種情況滿足方程有實根；
共有1+2+2+3=8種情況滿足方程有實根，
∴p=

8

12

=

2

3

；
（2）由題意得：-1≤a≤1，-1≤b≤1，右圖的正方形區域，
∵△=a²-4b²≥0，
∴（a+2b）（a-2b）≥0，即圖中陰影區域，
由圖可知p=

1 2 ×1×1×2

2×2

=

1

4

．

點評：本題考查幾何概型和古典概型，放在一起的目的是把兩種概型加以比較，注意兩者的不同．