Question

已知函數f（x）=x|x-a|+2x-3．
（1）若a=4，求當x∈[2，5]時函數f（x）的最大值；
（2）若函數f（x）在R上是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若a=4，我們要以根據函數f（x）=x|x-a|+2x-3，根據x∈[2，5]，利用零點分段法，分別求出2≤x＜4時和4≤x≤5時，函數的最大值，進而根據分段函數最大值的定義得到答案．
（2）根據零點分段法，我們可以將函數f（x）=x|x-a|+2x-3的解析式化為分段函數的形式，結合二次函數的圖象和性質，可以得到第一段函數的對稱軸不小于a，而第二段函數的對稱軸不大于a，進而構造出一個關于a的不等式組，解不等式組，即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）a=4時，f（x）=x|x-4|+2x-3，
若2≤x＜4，f（x）=-x²+6x-3=-（x-3）²+6
∴當x=3時，f（x）有最大值是f（3）=6…（4分）
若4≤x≤5，f（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴當x=5時，f（x）有最大值是f（5）=12
故當x=5時，f（x）有最大值12                            …（8分）
（2）從已知f(x)=

x2-(a-2)x-3   x≥a -x2+(a+2)x-3   x＜a

…（10分）
依題意，

a-2 2 ≤a a+2 2 ≥a

⇒-2≤a≤2，f（x）是R上的增函數       …（13分）

點評：本題考查的知識點是二次函數在閉區間上的最值，帶絕對值的函數，分段函數的解析式求法，函數單調性的性質，其中（1）的關鍵是利用零點分段法，確定分類標準，（2）的關鍵是根據第一段函數的對稱軸不小于a，而第二段函數的對稱軸不大于a，構造出一個關于a的不等式組．