Question

（12分）已知某類型的高射炮在它們控制的區域內擊中具有某種速度敵機的概率為．
（Ⅰ）假定有5門這種高射炮控制某個區域，求敵機進入這個區域后被擊中的概率；
（Ⅱ）要使敵機一旦進入這個區域內有90%以上的概率被擊中，至少需要布置幾門這類高射炮？（參考數據，）

Answer 1

（Ⅰ）．
（Ⅱ）n≥11．即至少需要布置11門高射炮才能有90%以上的概率擊中敵機．

本題考查n次獨立重復實驗中恰有k次發生的概率計算，注意解不等式 (4/5 )ⁿ＜1 /10 ，用到對數，運算量較大，要細心計算．
（Ⅰ）先求出5門炮都未擊中敵機的概率，再根據相互獨立事件概率的計算出結論，最后用1減去即可得到結果．
（Ⅱ）直接結合第一問的結論可知1-(4/5 )n＞9/ 10 ，再兩邊取對數，即可求出結論．
解（Ⅰ）設敵機被各炮擊中的事件分別記為A1、A2、A3、A4、A5，那么5門炮都未擊中敵機的事件為，因各炮射擊的結果是相互獨立的，所以


因此敵機被擊中的概率為．
（Ⅱ）設至少需要置n門高射炮才能有90%以上的概率擊中敵機，由①可知
 ，即 ，
兩邊取常用對數，得， 
∴n≥11．
即至少需要布置11門高射炮才能有90%以上的概率擊中敵機．