Question

已知函數f（x）=ln（x+1）+ax．
（1）當x=0時，函數f（x）取得極大值，求實數a的值；
（2）若存在x∈[1，2]，使不等式f′（x）≥2x成立，其中f′（x）為f（x）的導函數，求實數a的取值范圍；
（3）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因為x=0時函數取得極大值，所以f′（0）=0，化簡即可求出a的值，把a的值代入f（x）中檢驗，方法是在函數的定義域范圍內，討論導函數的正負得到函數的單調區間，根據函數的增減性即可得到x=0處取得極大值；
（2）把f′（x）的解析式代入f′（x）≥2x中，解得a大于等于2x-

1

x+1

，設g（x）=2x-

1

x+1

，求出g（x）的最大值，即可求出a的范圍，方法是求出g′（x），得到g′（x）大于0即函數在[1，2]為增函數，所以g（x）的最大值為g（2），列出關于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范圍；
（3）求出f′（x）=0時x的值，分a大于等于0和a小于0兩種情況在函數的定義域內，討論導函數的正負即可得到函數的單調區間．

解答：解：（1）f′（x）=

1

x+1

+a
由f′（0）=0，得a=-1，此時f′（x）=

1

x+1

-1．
當x∈（-1，0）時，f′（x）＞0，函數f（x）在區間（-1，0）上單調遞增；
當x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0，函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞減；
∴函數f（x）在x=0處取得極大值，故a=-1．
（2）∵f′（x）≥2x，∴

1

x+1

+a≥2x，∴a≥2x-

1

x+1

．
令g（x）=2x-

1

x+1

（1≤x≤2），
∴g′（x）=2+

1

(x+1)2

＞0，∴g（x）在[1，2]上是增函數，
∴a≥g（1）=

7

2

．存在x∈[1，2]，使不等式f′（x）≥2x成立．
（3）f′（x）=

1

x+1

+a．
∵

1

x+1

＞0，
∴當a≥0時，f′（x）＞0，函數f（x）在（-1，+∞）上是增函數．
當a＜0時，令f′（x）=0，x=-

1

a

-1；
若x∈（-1，-

1

a

-1）時，f′（x）＞0，
若x∈（-

1

a

-1，+∞）時，f′（x）＜0；
綜上，當a≥0時，函數f（x）遞增區間是（-1，+∞）；
當a＜0時，函數f（x）遞增區間是：（-1，-

1

a

-1），遞減區間是：（-

1

a

-1，+∞）．

點評：本題考查學生會根據導函數的正負得到函數的單調區間，會根據函數的增減性得到函數的極值，掌握不等式恒成立時所取的條件，是一道綜合題．