Question

如圖所示，設 A，B，C，D是不共面的四點，P，Q，R，S分別是AC，BC，BD，AD的中點，若AB=12

2

，CD=4

3

，且四邊形PQRS的面積是12

3

，求異面直線AB和CD所成角的大小．

Answer 1

分析：根據三角形的中位線的性質定理證出四邊形SRQP是平行四邊形，得到∠SRQ是要求的異面直線所成的角，根據所給的條件寫出角所在的三角形中的線段的長，得到要求的角的正弦值，得到結果．

解答：解：由題意知SR是△ABD的中位線，
∴SR∥

1

2

AB，SR=

1

2

AB，
同理PQ∥

1

2

AB，PQ=

1

2

AB，
∴SR∥PQ，SR=PQ，
∴四邊形SRQP是平行四邊形，
∴∠SRQ是要求的異面直線所成的角，
在四邊形SRQP中，SR=6

2

，RQ=2

3

四邊形PQRS的面積是12

3

，
∴SR上的高為

12 3

6 2

=

6

∴sin∠SRQ=

2

2

∴∠SRQ=45°
∴異面直線AB和CD所成角的大小為45°．

點評：本題考查異面直線所成的角，本題解題的過程是先做出角，再證明角是異面直線所成的角，最后求出角的大小．