Question

已知k∈R，函數f（x）=m^x+kn^x（m＞0且m≠1，n＞0且n≠1）．
（Ⅰ） 如果實數m，n滿足m＞1，mn=1，函數f（x）是否具有奇偶性？如果有，求出相應的k值；如果沒有，說明為什么？
（Ⅱ） 如果m＞1＞n＞0，討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）如果f（x）為偶函數，則f（-x）=f（x），轉化成（n^x-m^x）（k-1）=0，根據n^x-m^x=0不恒成立，可求出k的值．如果f（x）為奇函數，則f（-x）=-f（x），可轉化成（n^x+m^x）（k+1）=0，根據n^x+m^x=0不恒成立，可求出k的值．
（2）根據m＞1＞n＞0，則

m

n

，當k≤0時，顯然f（x）=m^x+kn^x在R上為增函數，當k＞0時，求出導函數f'（x），令f'（x）=0求出極值點，從而求出函數的單調區間．

解答：解：（1）如果f（x）為偶函數，則f（-x）=f（x）即m^-x+kn^-x=m^x+kn^x恒成立，
即：n^x+km^x=m^x+kn^x，（n^x-m^x）+k（m^x-n^x）=0，則 （n^x-m^x）（k-1）=0．
由n^x-m^x=0不恒成立，得k=1，即當k=1時，f（x）為偶函數．（3分）
如果f（x）為奇函數，則f（-x）=-f（x）即m^-x+kn^-x=-m^x-kn^x恒成立，
即：n^x+km^x=-m^x-kn^x，（n^x+m^x）+k（m^x+n^x）=0，則 （n^x+m^x）（k+1）=0．
由n^x+m^x=0不恒成立，得k=-1，即k=-1時，f（x）為奇函數．
（2）m＞1＞n＞0，則

m

n

＞1，∴當k≤0時，顯然f（x）=m^x+kn^x在R上為增函數．
當k＞0時，令 f'（x）=m^xlnm+kn^xlnn=n^x•[(

m

n

)x+lnm+klnn]=0，
可得[(

m

n

)x+lnm+klnn]=0，(

m

n

)x=-k

lnn

lnm

=-klog_mn，∴x=log

m

n

(-klogmn)．
在（-∞，log

m

n

(-klogmn) ）上，f'（x）＜0，函數f（x）為減函數；
在（ log

m

n

(-klogmn)，+∞）上，f'（x）＞0，函數f（x）為增函數．

點評：本題主要考查了函數奇偶性的判斷，以及利用導數研究函數的單調性和圖形的對稱性，同時考查了計算能力和轉化的數學思想，屬于難題．