Question

設數列的前項和為，已知(n∈N*)．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）求證：當x>0時，

（Ⅲ）令，數列的前項和為．利用（2）的結論證明：當n∈N*且n≥2時，.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）參考解析；（Ⅲ）參考解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由數列的求和與通項的等式，遞推一個等式兩式相減可得到一個的，的一個一節遞推式（）.將等式的兩邊同除以，即可得到是一個等差數列，再通過求出的通項，即可得到的通項式.最后檢驗一下n=1時即可.

（Ⅱ）不等式的證明通過轉化為兩函數的值在大于零恒成立即可.通過求導可得導函數恒大于零.所以原函數在上遞增.函數的最小值是大于零.

（Ⅲ）由（Ⅰ）得到的數列可得的通項.由于通項中存在的形式.所以奇偶項的符號不一樣.通過整理轉化為.結合（Ⅱ）得到的結論令.可得.這樣就把分數和的形式改為對數的和的形式即可.

試題解析：（1）由，得（）         2分

兩式相減，得，即（）

于是，所以數列是公差為1的等差數列    ..       .3分

又，所以.

所以，故.                .5分

（2）令，則，7分

∴在時單調遞增，，即當時， .9分

（3）因為，則當n≥2時，

.                     11分

下面證

令，由（2）可得，所以

，，  ，

以上個式相加，即有

∴               14分

考點：1.數列的通項.構造求通項的思想.3.函數的求導及單調性.4.數列、函數不等式的應用.