Question

【題目】設函數，其中.

(Ⅰ)若函數在處有極小值，求的值；

(Ⅱ)若，設，求證：當時， ；

(Ⅲ)若，對于給定，其中，若.求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ) .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意得到關于實數的方程組，求解方程組可得；

(Ⅱ)首先確定函數取得最值時自變量的位置，然后結合題意進行證明即可得出結論；

(Ⅲ)由題意分類討論可得的取值范圍是.

試題解析：

(Ⅰ) ,由已知的，

解得或.

當時， 是極小值

當時， 是極大值，故舍去

所以

(Ⅱ)

因為，所以函數的對稱軸位于區間之外，

于是， 在上的最大值在兩端點處取得，

即.

于是=≥，

故.

(Ⅲ)

所以，當時， ，所以在上單調遞減.

①當時， ，

，

，

因為在上單調遞減，所以，

且.

因此， 成立， 符合題意.

②當時, ，

，

于是

所以成立， 不符合題意

③時， ，

，

.

所以不符合題意.

綜上， .