Question

（2008•南匯區一模）已知函數f(x)=

1

1-x

+lg

1+x

1-x

（1）求函數f（x）的定義域，并判斷它的單調性（不用證明）；
（2）若f（x）的反函數為f^-1（x），證明方程f^-1（x）=0有解，且有唯一解；
（3）解關于x的不等式f[x（x+1）]＞1．

Answer 1

分析：（1）讓分母不為0且真數大于0求解即可．把f（x）分成兩個函數，分別求單調性，再利用復合函數的單調性即可．
（2）令x=0，得f（0）=1．即x=0是方程f^-1（x）=0的一個解，再利用反證法證明f^-1（x）=0有且只有一個解；
（3）利用f（x）為定義在（-1，1）上的增函數，把f[x（x+1）]＞1=f（0）的符號“f”脫去，問題轉化為二次不等式問題即可．

解答：解：（1）由

1+x

1-x

＞0，及1-x≠0，得：-1＜x＜1，
∴f（x）的定義域為（-1，1），…（2分）
由于y=lg

1+x

1-x

=lg(-1+

2

1-x

)和y=

1

1-x

在（-1，1）上都是增函數，
∴f（x）在定義域（-1，1）內是增函數．      …（4分）
（2）令x=0，得f（0）=1．即x=0是方程f^-1（x）=0的一個解…（7分）
設x₁≠0是f^-1（x）=0的另一解，則由反函數的定義知f（0）=x₁≠0，
這與f（0）=1矛盾，故f^-1（x）=0有且只有一個解．…（10分）
（3）由f[x（x+1）]＞1=f（0），且f（x）為定義在（-1，1）上的增函數，得0＜x（x+1）＜1，
解得-

1+ 5

2

＜x＜-1或0＜x＜

-1+ 5

2

，這也即為不等式f[x（x+1）]＞1的解．…（16分）

點評：本題綜合考查了函數的定義域，單調性和互為反函數的兩函數之間的關系，不等式的解法等基礎知識．在求復合函數的單調性時，遵循的原則是單調性相同復合函數為增函數，單調性相反復合函數為減函數．