Question

（2013•順義區一模）已知函數f（x）=cos（2ωx-

π

6

）-cos（2ωx+

π

6

）+1-2sin²ωx，（x∈R，ω＞0）的最小正周期為π．
（I）求ω的值；
（II）求函數f（x）在區間[-

π

4

，

π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）利用三角函數的恒等變換化簡函數的解析式為

2

sin(2ωx+

π

4

)，由此根據函數的周期求得ω的值．
（II）由（I）可知，f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)，再根據-

π

4

≤x≤

π

3

，求得函數的最值．

解答：解：（I）f(x)=cos2ωx•cos

π

6

+sin2ωx•sin

π

6

-cos2ωx•cos

π

6

+sin2ωx•sin

π

6

+cos2ωx
=sin2ωx+cos2ω x=

2

sin(2ωx+

π

4

)．…（5分）
因為f（x）是最小正周期為π，所以

2π

2ω

=π，因此ω=1．…（7分）
（II）由（I）可知，f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)，
因為-

π

4

≤x≤

π

3

，所以-

π

4

≤2x+

π

4

≤

11π

12

．…（9分）
于是當2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時，f（x）取得最大值

2

；…（11分）
當2x+

π

4

=-

π

4

，即x=-

π

4

時，f（x）取得最小值-1．…（13分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的定義域和值域，三角函數的周期性和求法，屬于中檔題．