Question

如圖1，OA，OB是某地一個湖泊的兩條垂直的湖堤，線段CD和曲線EF分別是湖泊中的一條棧橋和防波堤．為觀光旅游需要，擬過棧橋CD上某點M分別修建與OA，OB平行的棧橋MG，MK，且以MG，MK為邊建一個跨越水面的三角形觀光平臺MGK．建立如圖2所示的直角坐標系，測得CD的方程是x+2y=20（0≤x≤20），曲線EF的方程是xy=200（x＞0），設點M的坐標為（s，t）．（題中所涉及長度單位均為米，棧橋及防波堤都不計寬度）
（1）求三角形觀光平臺MGK面積的最小值；
（2）若要使△MGK的面積不小于320平方米，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知，點 K(s，

200

s

)，G(

200

t

，t)，由MG∥OA，MK∥OB，可得MG、MK的長，即得三角形面積S_△MGK的表示，根據函數單調性求出面積的最小值即可．
（2）由題S_△MGK≥320，解得st的范圍，將s消去可得關于t的一元二次不等式，解之即可求出t的范圍．

解答：解：（1）由題G(

200

t

，t)，K(s，

200

s

)，且s+2t=20，0＜t＜10，
∴S△MGK=

1

2

MG•MK=

1

2

(

200

t

-s)(

200

s

-t)=

1

2

(st+

40000

st

)-200．
∵s+2t≥2

2st

，當且僅當s=2t時取“=”，∴0＜st≤50．
令st=μ，μ∈（0，50]，f(μ)=μ+

40000

μ

，
∴f′(μ)=1-

40000

μ2

＜0．
∴f（μ）在（0，50]上遞減．∴(S△MGK)min=

1

2

f(50)-200=225．
（2）由題S_△MGK≥320，解得st≤40或st≥1000．
∴0＜（20-2t）t≤40，即t²-10t+20≥0．
∴t≤5-

5

或t≥5+

5

．
又0＜t＜10，∴t∈(0，5-

5

]∪[5+

5

，10)．

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及利用函數的單調性求函數的最值，屬于中檔題．