Question

我們將具有下列性質的所有函數組成集合M：函數y=f（x）（x∈D），對任意均滿足，當且僅當x=y時等號成立．
（1）若定義在（0，+∞）上的函數f（x）∈M，試比較f（3）+f（5）與2f（4）大小．
（2）給定兩個函數：，f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）．證明：f₁（x）∉M，f₂（x）∈M．
（3）試利用（2）的結論解決下列問題：若實數m、n滿足2^m+2ⁿ=1，求m+n的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意中所給的定義直接判斷f（3）+f（5）與2f（4）大小即可；
（2）對于函數f₁（x）∉M可通過舉兩個反例，說明其不符合所給的定義可取x=1，y=2，對于f₂（x）∈M可按定義規則進行證明，任取x，y∈R⁺，求出利用基本不等式，得到，即可證明出結論；
（3）參照（2）的方法，利用所給的定義及基本不等式作出變化，再判斷即可得出所求的最值
解答：解：（1），即f（3）+f（5）≤2f（4）
但3≠5，所以f（3）+f（5）＜2f（4）
（若答案寫成f（3）+f（5）≤2f（4），扣一分）                        （4分）
（2）①對于，取x=1，y=2，則


所以，f₁（x）∉M．（6分）
②對于f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）任取x，y∈R⁺，則
∵，而函數f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）是增函數
∴，即
則，即f₂（x）∈M．（10分）
（3）設x=2^m，y=2ⁿ，則m=log₂x，n=log₂y，且m+n=1．
由（2）知：函數g（x）=log₂x滿足，
得，即，則m+n≤-2（14分）
當且僅當x=y，即，即m=n=-1時，m+n有最大值為-2．（16分）
點評：本題考查不等式的綜合題，考查了比較大小，基本不等式求最值的運用，對數的運算性質，解答本題關鍵是理解定義及基本不等式的運用規則，本題考查了理解能力及判斷推理的能力，考查了轉化的思想，本題綜合性強，注意總結本題的做題的規律