Question

已知拋物線和雙曲線都經過點M（1，2），它們在x軸上有共同焦點，雙曲線的對稱軸是坐標軸，拋物線的頂點為坐標原點．
（1）求這兩條曲線的方程；
（2）直線l過x軸上定點N（異于原點），與拋物線交于A、B兩點且以AB為直徑的圓過原點，試求出定點N的坐標．

Answer 1

分析：（1）設拋物線方程為y²=2px（p＞0），將M（1，2）代入，可求拋物線方程．利用雙曲線的定義可求雙曲線方程；
（2）設l方程為x=ty+m與拋物線方程聯立得y²-4ty-4m=0，利用以AB為直徑的圓過原點，即x₁x₂+y₁y₂=0，從而求出定點坐標．

解答：解：（1）設拋物線方程為y²=2px（p＞0），將M（1，2）代入得P=2．∴拋物線方程為y²=4x，焦點為F（1，0）由題意知雙曲線的焦點為F₁（-1，0）F₂（1，0）∴c=1
對于雙曲線，2a=||MF1|-|MF2||=2

2

-2∴a=

2

-1(a)2=3-2

2

(b)2=2

2

-2
∴雙曲線方程為

x2

3-2 2

-

y2

2 2 -2

=1
（2）設l方程為x=ty+m聯立

x=ty+m y2=4x

得y²-4ty-4m=0
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）則

y1+y2=4t y1y2=-4m

∴x1x2=

y12

4

•

y22

4

=m2
∵以AB為直徑的圓過原點，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴m²-4m=0，∴m=4，∴N的坐標為（4，0）

點評：本題主要考查利用待定系數法求拋物線、雙曲線方程，同時考查恒過定點問題，注意挖掘題目隱含，將問題等價轉化．