Question

已知函數f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R）有下列性質：“若x∈[a，b]，則存在x∈（a，b），使得”成立．
（1）利用這個性質證明x唯一；
（2）設A、B、C是函數f（x）圖象上三個不同的點，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用反證法，假設存在，∈（a，b），考察得出函數f′（x）是[a，b]上的單調遞增函數，得出矛盾
（2）利用f（x）是R上的單調減函數，得出，cosB＜0，∠B為鈍角，△ABC為鈍角三角形．
解答：解：（1）證明：假設存在，∈（a，b），且在≠，使得
∴，∵
∴f′（x）=-1=-，記g（x）=f′（x）=-，則g′（x）=＞0，f′（x）是[a，b]上的單調遞增函數，
∴所以=，與≠矛盾，所以x是唯一的．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）C（x₃，y₃）且x₁＜x₂＜x ₃
∵，∴f（x）是R上的單調減函數．∴f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）．
∵，
∴，
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，∴
∴cosB＜0，∠B為鈍角，∴△ABC為鈍角三角形．
點評：本題考查了函數單調性的應用，向量坐標運算及幾何意義，反證法的解題思想．綜合性強，值得體會．