Question

已知α-l-β是大小為45°的二面角，C為二面角內一定點，且到半平面α和β的距離分別為

2

和6，A、B分別是半平面α，β內的動點，則△ABC周長的最小值為（　　）

• A、6

  2

  +6
• B、5

  2

  +5
• C、15
• D、10

  2

Answer 1

分析：解答本題要進行正確轉化，可以作出C關于兩個平面α，β對稱點，分別點M，N，連接M，N，則線段MN的長度即為△ABC周長的最小值此時線段MN與兩個平面的交點坐標分別為A，B

解答：解：如圖，作出C關于兩個平面α，β對稱點，分別點M，N，連接M，N，線段MN與兩個平面的交點坐標分別為A，B
則△ABC周長L=AB+AC+BC=AB+AM+BN=MN，
由兩點之間線段最短可以得出MN即為△ABC周長的最小值，下求此最小值即MN的長度，在△CMN中求解
由已知C為二面角內一定點，且到半平面α和β的距離分別為

2

和6，不妨令CA=

2

和CB=6
可得出CM=2

2

，CN=12
又α-l-β是大小為45⁰的二面角，線段CM與線段CN與兩個平面的交點即點C在兩個平面上的垂足分別為Q，P，過點P作PO垂直兩平面的交線于O，連接QO，則角POQ=45°，故可得角MCN=135°
故MN²=CM²+CN²-2×CN×CM×cos135°=8+144+48=200
故MN=10

2

故選D

點評：本題考點是與二面角有關的立體幾何綜合題，考查根據題目中所給的條件進行圖形推理的能力，先利用位置關系作出所求的量，再根據圖形中相關的位置關系求出線段的長度，是立體幾何中常見的思路，先作圖，證明，求值．