Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD，垂足為M．
（Ⅰ）求證：AM⊥PD；
（Ⅱ）求三棱錐B-AMC的體積；
（III）已知點N在AC上，當N 點在什么位置時，使得MN∥平面PBC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證AM⊥PD，只要證明PD⊥平面AMB 即可，因為已知BM⊥PD，所以只要證明PD⊥AB即可，為此需要證明AB⊥平面PAD，由已知條件可以得出；
（Ⅱ）要計算三棱錐B-AMC的體積，只要求出把△BAC作為底面時的高即可，只要作MH⊥AD，則可以證明MH⊥底面ABCD；
（Ⅲ）點N在AC上，使得MN∥平面PBC，只要理解對角線BD與AC相較于一點N，利用三角形的中位線可以證出．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．
又∵BA⊥AD，AD∩PA=A，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD．
∵BM⊥PD，AB∩BM=B，
∴PD⊥平面ABM．
∴PD⊥AM．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：AM⊥PD．
∵在△PAD中，AP=AD=2，∴M是PD的中點．
過點M作MH⊥AD，則MH⊥底面ABCD，且MH=

1

2

AP=1．
∴V_{三棱錐B-AMC}=

1

3

×S△ABC×MH=

1

3

×

1

2

×2×1×1=

1

3

．
（Ⅲ）連接BD，交AC于點N，當點N為對角線AC與BD的交點時，滿足MN∥平面PBC．
證明：∵PM=MD，BN=ND，∴MN∥PB．
又MN?平面PBC，PB?平面PBC，
∴MN∥平面PBC．

點評：熟練掌握線面平行與垂直的判定定理和性質定理是解題的關鍵．