Question

某汽車駕駛學校在學員結業前，對學員的駕駛技術進行4次考核，規定：按順序考核，一旦考核合格就不必參加以后的考核，否則還需參加下次考核．若學員小李獨立參加每次考核合格的概率依次組成一個公差為

1

8

的等差數列，他參加第一次考核合格的概率超過

1

2

，且他直到參加第二次考核才合格的概率為

9

32

．
（1）求小李第一次參加考核就合格的概率p．；
（2）求小李參加考核的次數ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）根據題意寫出關于概率的方程，解方程即可得到要求的結果，根據條件中對于概率的要求，舍去不合題意的．
（2）根據題意得到變量的可能取值，由（1）的結論知，小李四次考核每次合格的概率依次為

5

8

，

3

4

，

7

8

，1，結合變量對應的事件寫出分布列和期望．

解答：解：（1）由題意，得(1-p1)(p1+

1

8

)=

9

32

，p1=

1

4

或

5

8

．
因為p1＞

1

2

，所以p1=

5

8

，即小李第一次參加考核就合格的概率p1=

5

8

．                
（2）由（1）的結論知，小李四次考核每次合格的概率依次為

5

8

，

3

4

，

7

8

，1，
所以，P(ξ=1)=

5

8

，P(ξ=2)=

9

32

，P(ξ=3)=(1-

5

8

)(1-

3

4

)×

7

8

=

21

256

P(ξ=4)=(1-

5

8

)(1-

3

4

)(1-

7

8

)×1=

3

256

所求分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	5 8	9 32	21 256	3 256

由上可知，Eξ=1×

5

8

+2×

9

32

+3×

21

256

+4×

3

256

=

379

256

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，本題解題的關鍵是在第一問做出要用的概率，本題是一個必出現在高考卷中的題目類型．