Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與直線x+y-1=0相交于A，B兩點．
（1）當橢圓的焦距為2，且a²，b²，c²成等差數(shù)列時，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，求弦AB的長度；
（3）若橢圓C的離心率e滿足：

5

5

≤e≤

3

3

，且以AB為直徑的圓過坐標原點，求橢圓C的長軸的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的焦距為2，且a²，b²，c²成等差數(shù)列，可得

2c=2 2b2=a2+c2 a2=b2+c2

，解得即可；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式|AB|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

即可得出．．
（3）把直線與橢圓的方程聯(lián)立得到△＞0，化為a²+b²＞1（*），同時得到根與系數(shù)的關(guān)系．由于以AB為直徑的圓過坐標原點，可得

OA

•

OB

=0，即得到a，b的關(guān)系，由離心率e滿足：

5

5

≤e≤

3

3

，即可得出．

解答：解：（1）∵橢圓的焦距為2，且a²，b²，c²成等差數(shù)列，
∴

2c=2 2b2=a2+c2 a2=b2+c2

，解得

a2=3 b2=2，c=1

，
∴橢圓C的方程為

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

x+y-1=0 x2 3 + y2 2 =1

，化為5x²-6x-3=0，
∴x1+x2=

6

5

，x₁x₂=-

3

5

．
∴|AB|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

( 6 5 )2-4×(- 3 5 )

=

8 3

5

．
（3）聯(lián)立

x+y-1=0 x2 a2 + y2 b2 =1

，化為（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，
由△=4a⁴-4a²（a²+b²）（1-b²）=4a²b²（a²+b²-1）＞0，化為a²+b²＞1（*）．
∴x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

．
∵以AB為直徑的圓過坐標原點，∴

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂），
∴2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
∴

2a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0，化為a²+b²-2a²b²=0，
∴b2=

a2

2a2-1

，
把上式代入（*）得a2＞

1

2

，e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

，化為b²=a²-a²e²，
∴2a2=1+

1

1-e2

，
由離心率e滿足：

5

5

≤e≤

3

3

，∴

1

5

≤e2≤

1

3

．
得

9

8

≤a2≤

5

4

，
∴

3 2

2

≤2a≤

5

．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、離心率計算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．