Question

已知鈍角的三邊的長是3個連續(xù)的自然數(shù)，其中最大角為，則＝_____                     

Answer 1

試題分析：不妨設(shè)三邊滿足a＜b＜c，滿足a=n-1，b=n，c=n+1（n≥2，n∈N）．根據(jù)余弦定理以及角C為鈍角，建立關(guān)于n的不等式并解之可得0＜n＜4，再根據(jù)n為整數(shù)和構(gòu)成三角形的條件，可得出本題答案。解：不妨設(shè)三邊滿足a＜b＜c，滿足a=n-1，b=n，c=n+1（n≥2，n∈N）．∵△ABC是鈍角三角形，∴可得∠C為鈍角，即cosC＜0，由余弦定理得：（n+1）²=（n-1）²+n²-2n（n-1）•cosC＞（n-1）²+n²，即（n-1）²+n²＜（n+1）²，化簡整理得n²-4n＜0，解之得0＜n＜4，∵n≥2，n∈N，∴n=2，n=3，當(dāng)n=2時，不能構(gòu)成三角形，舍去，當(dāng)n=3時，△ABC三邊長分別為2，3，4，故答案為
點評：本題屬于解三角形的題型，涉及的知識有三角形的邊角關(guān)系，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．靈活運用余弦定理解關(guān)于n的不等式，并且尋找整數(shù)解，是解本題的關(guān)鍵．