Question

【題目】已知圓和圓．

（1）判斷圓和圓的位置關系；

（2）過圓的圓心作圓的切線，求切線的方程；

（3）過圓的圓心作動直線交圓于A，B兩點．試問：在以AB為直徑的所有圓中，是否存在這樣的圓，使得圓經過點？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）外離；

（2）或；

（3）存在圓：或，使得圓經過點 。

【解析】

試題分析：（1）求出兩圓的圓心距，在比較其與 的大小關系，從而確定兩圓的位置關系；（2）由點

斜式設出切線方程，然后用點線距離公式建立關于的方程；（2）斜率不存在時，易知圓也是滿足題意的圓；斜率存在時，假設存在以為直徑的圓經過點，則，所以，則可得，再把直線方程與圓的方程聯立可求，，代入上式可得關于的方程。

(1)因為圓的圓心，半徑，圓的圓心，徑，

所以圓和圓的圓心距，

所以圓與圓外離. 3分

（2）設切線的方程為：，即，

所以到的距離，解得.

所以切線的方程為或. ....7分

(3)ⅰ）當直線的斜率不存在時，直線經過圓的圓心，此時直線與圓的交點為，，即為圓的直徑，而點在圓上，即圓也是滿足題意的圓．.......8分

ⅱ）當直線的斜率存在時，設直線，由，

消去整理，得，

由△，得或．

設，則有 ① 9分

由①得， ②

， ③

若存在以為直徑的圓經過點，則，所以，

因此，即， 10分

則，所以，，滿足題意．

此時以為直徑的圓的方程為，

即，亦即． 12分

綜上，在以AB為直徑的所有圓中，存在圓：或

，使得圓經過點． 14分