Question

已知復數z=a+bi，滿足|z|=

5

，z²的實部為3，且z在復平面內對應的點位于第一象限．
（1）求z、

.

z

和z+2

.

z

；
（2）設z、

.

z

、z+2

.

z

在復平面內對應點分別為A、B、C，試判斷△ABC的形狀，并求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 a²-b²=3，a²+b²=5，a＞0，b＞0．解得a、b的值，即可求得z、

.

z

和z+2

.

z

．
（2）由（1）可得點A、B、C的坐標，可得

BA

和

BC

的坐標，求得 

BA

•

BC

＜0，可得∠ABC為鈍角，故三角形ABC為鈍角三角形．
△ABC中，由余弦定理求得cos∠ABC=-

5

5

，可得sin∠ABC=

4 5

5

，再由△ABC的面積為

1

2

|BA|•|BC|•sin∠ABC 運算求得結果．

解答：解：（1）由題意可得 a²-b²=3，a²+b²=5，a＞0，b＞0．
解得

a=2 b=1

，∴z=2+i，

.

z

=2-i，z+2

.

z

=（2+i）+2（2-i）=6-3i．
（2）由（1）可得點A（2，1）、點B（2，-1）、點C（6，-3），∴

BA

=（0，2）、

BC

=（4，-2），
∴

BA

•

BC

=0-4=-4＜0，∴∠ABC為鈍角，故三角形ABC為鈍角三角形．
△ABC中，由于|AB|=2，|AC|=

16+16

=4

2

，|BC|=

16+4

=2

5

，由余弦定理可得 32=4+20-2×2×2

5

×cos∠ABC，
解得cos∠ABC=-

5

5

，∴sin∠ABC=

4 5

5

，∴△ABC的面積為

1

2

|BA|•|BC|•sin∠ABC=8．

點評：本題主要考查兩個復數代數形式的乘除法，虛數單位i的冪運算性質，復數的代數表示及其幾何意義，復數與復平面內對應點之間的關系，余弦定理的應用，屬于基礎題．