Question

若點P的橫、縱坐標均為整數(shù)，則稱P是“整點”．已知直線l：

x

a

+

y

b

=1與圓x²+y²=25有公共點且都是整點，那么這樣的直線l共有

60

條．

Answer 1

分析：求出x²+y²=25，整點的整點個數(shù)，如圖，共12個點，由題意直線

x

a

+

y

b

=1（a，b為非零實數(shù)）與x，y軸不平行，不經(jīng)過原點，求出所有的直線的條數(shù)，去掉不滿足題意的直線的條數(shù)即可．

解答：解：x²+y²=100，整點為（0，±5），（±3，±4），（±4，±3），（±5，0），
如圖，共12個點，
直線

x

a

+

y

b

=1（a，b為非零實數(shù)），
∴直線與x，y軸不平行，不經(jīng)過原點
任意兩點連線有C₁₂²條，
與x，y軸平行有14條，經(jīng)過原點有6條，
其中有兩條既過原點又與x，y軸平行，
∴共有C₁₂²+12-14-6+2=60．
故答案為：60．

點評：本題考查直線與圓的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化，恰當?shù)亟柚鷶?shù)形結(jié)合進行求解．