Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E、F分別是AB、C₁D₁的中點．
（1）證明：點A₁、F、C、E在同一平面內；
（2）若點G、H分別是DD₁、B₁C₁的中點，證明：GH⊥平面A₁FCE．

Answer 1

證明：（1）作A₁B₁的中點M，并連接BM、FM
依題意得EB與A₁M平行且相等…（1分）
∴四邊形A₁MBE是平行四邊形∴A₁E∥MB…（2分）
又依題意得BC與MF平行且相等∴四邊形MFCB是平行四邊形…（3分）
∴MB∥FC…（4分）
∴A₁E∥FC…（5分）
∴點A₁、F、C、E在同一平面內…（6分）
（2）由GD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，且A₁F?平面A₁B₁C₁D₁∴GD₁⊥A₁F…（7分）
又由F、H分別是C₁D₁、B₁C₁的中點，∴Rt△A₁FD₁≌Rt△D₁HC₁
∴∠D₁A₁F=∠HD₁C₁
又∵∠D₁A₁F+∠D₁FA₁=90°∴∠HD₁C₁+∠D₁FA₁=90°∴D₁H⊥A₁F…（9分）
而D₁H∩D₁G=D₁，D₁H，D₁G?平面D₁HG
∴A₁F⊥平面D₁HG，而GH?平面D₁HG
∴A₁F⊥GH…（11分）
同理可證CF⊥GH…（13分）
而CF∩A₁F=F，CF，A₁F?平面A₁FCE．
∴GH⊥平面A₁FCE．…（14分）
分析：（1）作A₁B₁的中點M，并連接BM、FM，證明四邊形A₁MBE是平行四邊形，四邊形MFCB是平行四邊形，即可證明點A₁、F、C、E在同一平面內．
（2）通過證明A₁F⊥平面D₁HG，說明A₁F⊥GH，CF⊥GH，然后利用直線與平面垂直的判定定理證明GH⊥平面A₁FCE．
點評：本題考查四點共面，直線與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力與計算能力．