Question

已知橢圓C過點是橢圓的左焦點，P、Q是橢圓C上的兩個動點，且|PF|、|MF|、|QF|成等差數列。

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）求證：線段PQ的垂直平分線經過一個定點A；

（3）設點A關于原點O的對稱點是B，求|PB|的最小值及相應點P的坐標。

Answer 1

（1）（2）（3）

解析:

（1）設橢圓的方程為，由已知，得，解得

所以橢圓的標準方程為   …………3分

（2）證明：設。由橢圓的標準方程為，可知

同理………4分

∵，∴

∴…………5分

①當時，由，得

從而有

設線段的中點為，由         …………6分

得線段的中垂線方程為…………7分

∴，該直線恒過一定點…………8分

②當時，或

線段的中垂線是軸，也過點，

∴線段的中垂線過點…………10分

（3）由，得。

又，∴

…………12分

∴時，點的坐標為…………14分