Question

已知首項為

1

2

的等比數列{a_n}是遞減數列，其前n項和為S_n，且S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n•log₂a_n，數列{b_n}的前n項和T_n，求滿足不等式

Tn+2

n+2

≥

1

16

的最大n值．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）設出等比數列的公比，由S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差數列，結合a₁=

1

2

且數列{a_n}是遞減數列求出公比，則等比數列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅱ）把{a_n}的通項公式代入b_n=a_n•log₂a_n，利用錯位相減法求出數列{b_n}的前n項和T_n，代入

Tn+2

n+2

≥

1

16

求得n的最大值．

解答： 解：（I）設等比數列{a_n}的公比為q，由題知a₁=

1

2

，
又∵S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差數列，
∴2（S₂+a₂）=S₁+a₁+S₃+a₃，
變形得S₂-S₁+2a₂=a₁+S₃-S₂+a₃，即得3a₂=a₁+2a₃，
∴

3

2

q=

1

2

+q²，解得q=1或q=

1

2

，
又由{a_n}為遞減數列，
∴q=

1

2

，
∴a_n=a₁q^n-1=（

1

2

）ⁿ；
（Ⅱ）由于b_n=a_nlog₂a_n=-n•（

1

2

）ⁿ，
∴Tn=-[1•

1

2

+2•(

1

2

)2+…+(n-1)•(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n]，
則

1

2

Tn=-[1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1]，
兩式相減得：

1

2

Tn=-[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1]
=-

1 2 •[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

+n•(

1

2

)n+1，
∴Tn=(n+2)•(

1

2

)n-2．
∴

Tn+2

n+2

=(

1

2

)n．
由(

1

2

)n≥

1

16

，解得n≤4．
∴n的最大值為4．

點評：本題是數列與不等式的綜合題，考查了等比數列通項公式的求法，訓練了錯位相減法求數列的前n項和，考查了指數不等式的解法，是中檔題．