Question

已知，（ a為常數，e為自然對數的底）．
（1）
（2）時取得極小值，試確定a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，設的極大值構成的函數，將a換元為x，試判斷是否能與（m為確定的常數）相切，并說明理由．

Answer 1

（1）；（2）使函數在時取得極小值的的取值范圍是；（3）不能相切，過程見解析．

試題分析：（1）當時，,先求導函數，將代入可得；（2），令，得或，對進行討論，當時，在區間上單調遞減，沒有極小值，當時，是函數的極小值點，當時，是函數的極大值點；（3）極大值為，則，可得，令則恒成立，即在區間上是增函數．當時，，即恒有，直線斜率為，不可能相切．
解（1）當時，．．
所以．
（2）．
令，得或．
當，即時，
恒成立，
此時在區間上單調遞減，沒有極小值；
當，即時，
若，則．若，則．
所以是函數的極小值點．
當，即時，
若，則．若，則．
此時是函數的極大值點．
綜上所述，使函數在時取得極小值的的取值范圍是．
（3）由（2）知當，且時，，
因此是的極大值點，極大值為．
所以．．
令．
則恒成立，即在區間上是增函數．
所以當時，，即恒有．
又直線的斜率為，
所以曲線不能與直線相切．