Question

（2013•杭州模擬）如圖，由半圓x²+y²=1（y≤0）和部分拋物線y=a（x²-1）（y≥0，a＞0）合成的曲線C稱為“羽毛球形線”，且曲線C經過點（2，3）．
（1）求a的值；
（2）設A（1，0），B（-1，0），過A且斜率為k的直線l與“羽毛球形”相交于P，A，Q三點，問是否存在實數k使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點（2，3）代入y=a（x²-1），可求a的值；
（2）由題意可知k_QB•k_QA=1，利用斜率公式，即可求得結論．

解答：解：（1）把點（2，3）代入y=a（x²-1），可得3=a（2²-1），∴a=1；
（2）由題意可知∠QBA=∠PBA，∠APB=90°
∴∠QBA+∠BAP=90°
∴k_QB•k_QA=1
設Q（x₀，x02-1），其中x₀＞0
∴kQB=

x02-1

x0+1

=x₀-1，kQA=

x02-1

x0-1

=x₀+1，
∴k_QB•k_QA=x02-1=1
∵x₀＞0，∴x0=

2

∴k=kQA=

2

+1
∴存在實數k=1+

2

，使得∠QBA=∠PBA．

點評：本題考查直線斜率的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．