Question

定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的上界.
已知函數；.
（1）當時，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；
（2）若函數在上是以3為上界的有界函數，求實數的取值范圍；
（3）若，函數在上的上界是，求的取值范圍.

Answer 1

（1）在的值域為，故不存在常數，使成立
所以函數在上不是有界函數。
（2）實數的取值范圍為。
（3）當時，的取值范圍是；
當時，的取值范圍是

[解]：（1）當時， 
因為在上遞減，所以，即在的值域為
故不存在常數，使成立
所以函數在上不是有界函數。   ……………4分（沒有判斷過程，扣2分）
（2）由題意知，在上恒成立。………5分
，         
∴  在上恒成立………6分
∴   ………7分
設，，，由得 t≥1，
設，

所以在上遞減，在上遞增，………9分（單調性不證，不扣分）
在上的最大值為， 在上的最小值為 
所以實數的取值范圍為。…………………………………11分
（3），∵   m>0 ，     ∴ 在上遞減，…12分
∴      即………13分
①當，即時，， ………14分
此時 ，………16分②當，即時，，
此時 ，   ---------17分
綜上所述，當時，的取值范圍是；
當時，的取值范圍是………18分