Question

某校從參加某次“廣州亞運”知識競賽測試的學生中隨機抽出60名學生，將其成績（百分制）（均為整數）分成六段[40，50）[50，60）…[90，100）下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：
（Ⅰ）求分數在[70，80）內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
（Ⅱ）統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值作為代表，據此估計本次考試的平均分；（Ⅲ）若從60名學生隨機抽取2名，抽到的學生成績在[40，70）記0分，在[70，100）記1分，用ξ表示抽取結束后的總記分，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由直方圖的性質，頻率和為1建立方程，求分數在[70，80]內的頻率x即可；
（Ⅱ）由加權平均公式求平均值即可；
（Ⅲ）學生成績在[40，70）的有0.4×60=24人，在[70，100]的有0.6×60=36人，并且ξ的可能取值是0，1，2．依次求出相應的概率，得出分布列，再由公式求期望．

解答：解：（Ⅰ）設分數在[70，80]內的頻率為x，
根據頻率分布直方圖，
則有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，
可得x=0.3，所以頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅱ）平均分為：

.

x

=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．
（Ⅲ）學生成績在[40，70）的有0.4×60=24人，在[70，100]的有0.6×60=36人．
并且ξ的可能取值是0，1，2．
則P（ξ=0）=

c 2 24

c 2 60

=

46

295

；P（ξ=1）=

c 1 24 × c 1 36

c 2 60

=

144

295

；P（ξ=2）=

c 2 36

c 2 60

=

105

295

；．
所以_ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	46 295	144 295	105 295

Eξ=0×

46

295

+1×

144

295

+2×

105

295

=

354

295

=1.2

點評：本題考查離散型隨機變量的期望與方差，解題的關鍵是題設中所給的條件求出分布列，再由公式求期望與方差，本題只要求求出期望值，此類題運算量大，解題時要注意運算嚴謹，避免運算出錯導致解題失敗．