Question

（2012•上海二模）已知f（x）=log₂（4^x+1）+2kx（x∈R）是偶函數．
（1）求實數k的值；
（2）若關于x的方程f（x）-m=0有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）是偶函數建立等式關系，化簡可得實數k的值；
要使方程f（x）-m=0有解，轉化成求函數的值域，將m分離出來，利用基本不等式，即可求實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數f（x）=log₂（4^x+1）+2kx（k∈R）是偶函數
∴f（-x）=log₂（4^-x+1）-2kx=f（x）=log₂（4^x+1）+2kx恒成立
即log₂（4^x+1）-2x-2kx=log₂（4^x+1）+2kx恒成立
解得k=-

1

2

；
（2）由（1）知，f（x）=log₂（4^x+1）-x
∴f（x）-m=0等價于m=log₂（4^x+1）-x
∵log₂（4^x+1）-x=log2(2x+

1

2x

)≥1
∴要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范圍為m≥1．

點評：本題考查的知識點是函數與方程的綜合運用，偶函數，其中根據偶函數的定義求出k值，進而得到函數f（x）的解析式，是解答的關鍵．