Question

如圖所示，在五面體P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝2，PB＝，PD＝．

(1)求證：BD⊥平面PAD；

(2)若PD與底面ABCD成60°的角，試求二面角P－BC－A的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°， 　　得BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos60°＝4＋16－2×2×4×＝12．∴AB2＝AD2＋BD2， 　　∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，即AD⊥BD．　　3分 　　在△PDB中，PD＝，PB＝，BD＝， 　　∴PB2＝PD2＋BD2，故得PD⊥BD． 　　又PD∩AD＝D，∴BD⊥平面PAD．　　6分 　　(2)∵BD⊥平面PAD，BD平面ABCD， 　　∴平面PAD⊥平面ABCD．　　8分 　　作PE⊥AD于E，又PE平面PAD，∴PE⊥平面ABCD， 　　∴∠PDE是PD與底面BCD所成的角，∴∠PDE＝60°， 　　 　　作EF⊥BC于F，連PF，則PF⊥BC，∴∠PFE是二面角P－BC－A的平面角． 　　又EF＝BD＝，∴在Rt△PEF中， 　　 　　故二面角P－BC－A的大小為arctan．　　12分