Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點為F₁（-c，0），F₂（c，0），中心為O，右頂點為A，

F1A

•

F2A

=c²，P為橢圓上任一點．
（1）求橢圓離心率；
（2）若cos∠F₁PF₂=

1

3

，且△PF₁F₂的面積為

2

時，求橢圓的方程．
（3）在（2）的條件下，點N為橢圓上動點，若M（m，0）（m＞0），求|MN|的最小值及此時N點的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用向量的數量積，求出a、c關系，即可求橢圓離心率；
（2）利用cos∠F₁PF₂=

1

3

，通過余弦定理以及△PF₁F₂的面積為

2

時，求出a²，b²的值，即可求橢圓的方程．
（3）在（2）的條件下，利用點N為橢圓上動點，求出m＞1以及m∈（0，1]，求|MN|的最小值及此時N點的坐標．

解答： 解：（1）因為A（a，0），所以

F1A

=(a+c，0)，

F2A

=(a-c，0)，
又

F1A

•

F2A

=a2-c2=c2，所以a²=2c²，所以e=

2

2

（2）設|

PF1

|=r1，|

PF2

|=r2，則r1+r2=2a=2

2

c，
S△PF1F2=

1

2

|

PF1

|：|

PF2

|•sin∠F1PF2
=

1

2

r1r2•

2 2

3

=

2

，所以r₁r₂=3
又cos∠F1PF2=

| PF1 |2+| PF2 |2-| F1F2 |2

2| PF1 |•| PF2 |

=

(r1+r2)2-2r1r2-4c2

2r1r2

=

8c2-6-4c2

6

=

1

3

所以c²=2，a²=4，b²=2橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1
（3）設N(x0，y0)，

x 2 0

4

+

y 2 0

2

=1
所以|MN|2=(x0-m)2+

y

2 0

=

x

2 0

-2mx0+m2+2-

1

2

x

2 0

=

1

2

(x0-2m)2+2-m2
又因為N點滿足橢圓，所以-2≤x₀≤2，m＞0，
所以①若2m＞2，則m＞1，當x=2時，|MN|的最小值為|2-m|，此時N（2，0）；
②若0＜2m≤2，則0＜m≤1，當x=2m時，|MN|的最小值為

2-m2

，此時N(2m，±

2-m2

)

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．涉及了橢圓的基本性質，向量的運算，考查了知識的綜合運用和基本的運算能力．