Question

6、[1]函數f（x）=x³+ax²+3x-9，已知f（x）在x=-3時取得極值，則a=

5

．
[2]觀察下列等式：1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=（1+2+3），1-4+9-16=-（1+2+3+4），…由此推測第n個等式為

1-4+9-16+…+（-1）ⁿ⁺¹n²=（-1）ⁿ⁺¹（1+2+3+…+n）

．（不必化簡結果）

Answer 1

分析：[1]先由函數f（x）=x³+ax²+3x-9求出其導函數f′（x），然后根據f′（-3）=0即可求a．
[2]觀察等式，發現規律：第n個等式左側是通項為（-1）ⁿ⁺¹n²的前n項和，右側為（-1）ⁿ⁺¹（1+2+3+…+n），則第n個等式即可寫出．

解答：解：[1]函數f′（x）=3x²+2ax+3，
又f（x）在x=-3時取得極值，
∴f′（-3）=3×9-6a+3=0，解得a=5．
[2]由等式：1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=（1+2+3），1-4+9-16=-（1+2+3+4），…
可見第n個等式左側是通項為（-1）ⁿ⁺¹n²的前n項和，右側為（-1）ⁿ⁺¹（1+2+3+…+n），
所以第n個等式為 1-4+9-16+…+（-1）ⁿ⁺¹n²=（-1）ⁿ⁺¹（1+2+3+…+n）．
故答案為：[1]5；[2]1-4+9-16+…+（-1）ⁿ⁺¹n²=（-1）ⁿ⁺¹（1+2+3+…+n）．

點評：函數y=f（x）在x=a時有極值的問題：一般需利用f′（a）=0解決．而觀察規律問題是對學生觀察能力、歸納推理能力的考查．