Question

設進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5，購買乙種商品的概率為0.6，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的．
（Ⅰ）求進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；
（Ⅱ）求進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；
（Ⅲ）記ξ表示進入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（1）進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種，包括兩種情況：即進入商場的1位顧客購買甲種商品不購買乙種商品，進入商場的1位顧客購買乙種商品不購買甲種商品，分析后代入相互獨立事件的概率乘法公式即可得到結論．
（2）進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的對立事件為，該顧客即不習甲商品也不購買乙商品，我們可以利用對立事件概率減法公式求解．
（3）由（1）、（2）的結論，我們列出ξ的分布列，計算后代入期望公式即可得到數學期望．

解答：解：記A表示事件：進入商場的1位顧客購買甲種商品，
記B表示事件：進入商場的1位顧客購買乙種商品，
記C表示事件：進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種，
記D表示事件：進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種，
（Ⅰ）C=A•

.

B

+

.

A

•B
P(C)=P(A•

.

B

+

.

A

•B)
=P(A•

.

B

)+P(

.

A

•B)
=P(A)•P(

.

B

)+P(A)•P(

.

B

)
=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5
（Ⅱ）

.

D

=

.

A

•

.

B

P(

.

D

)=P(

.

A

•

.

B

)
=P(

.

A

)•P(

.

B

)
=0.5×0.4
=0.2
∴P(D)=1-P(

.

D

)=0.8
（Ⅲ）ξ～B（3，0.8），
故ξ的分布列P（ξ=0）=0.2³=0.008
P（ξ=1）=C₃¹×0.8×0.2²=0.096
P（ξ=2）=C₃²×0.8²×0.2=0.384
P（ξ=3）=0.8³=0.512
所以Eξ=3×0.8=2.4

點評：此題重點考查相互獨立事件的概率計算，以及求隨機變量的概率分布列和數學期望；突破口：分清相互獨立事件的概率求法，對于“至少”常從反面入手常可起到簡化的作用；