Question

已知△ABC的三邊a，b，c滿足a²+b²+c²=2，5a+3b+4c=10，則該三角形最大內角的余弦值為

0

．

Answer 1

分析：將式子5a+3b+4c=10兩邊都乘以

2

5

，得2a+

6

5

b+

8

5

c=4，再與a²+b²+c²=2作差，化簡整理可得（a-1）²+（b-

3

5

）²+（c-

4

5

）²=0，得到△ABC的三邊a、b、c的長度，進而利用勾股定理的逆定理得出最大內角的余弦值．

解答：解：∵5a+3b+4c=10，∴兩邊都乘以

2

5

，得2a+

6

5

b+

8

5

c=4…①
∵a²+b²+c²=2，…②
∴②-①，可得a²+b²+c²-（2a+

6

5

b+

8

5

c）=-2
化簡整理，得（a-1）²+（b-

3

5

）²+（c-

4

5

）²=0
因此，a-1=b-

3

5

=c-

4

5

=0，得a=1，b=

3

5

，c=

4

5

∴a²=b²+c²，
∴A=90°且為三角形最大內角
可得三角形最大內角的余弦值為cos90°=0
故答案為：0

點評：本題給出三角形的邊滿足的條件，求最大角的余弦之值．著重考查了配方法求未知數、余弦定理和直角三角形的判定等知識，屬于中檔題．