Question

已知一系列函數有如下性質：
函數y=x+

1

x

在（0，1]上是減函數，在[1，+∞）上是增函數；
函數y=x+

2

x

在(0，

2

]上是減函數，在[

2

，+∞)上是增函數；
函數y=x+

3

x

在(0，

3

]上是減函數，在[

3

，+∞)上是增函數；…
利用上述所提供的信息解決問題：若函數y=x+

3m

x

(x＞0)的值域是[6，+∞），則實數m的值是

 

．

Answer 1

分析：根據一系列函數的性質進行歸納和類比，總結出函數y=x+

p

x

（p為常數）的性質和增減區間，從而求解．

解答：解：∵函數y=x+

1

x

在（0，1]上是減函數，在[1，+∞）上是增函數；
函數y=x+

2

x

在(0，

2

]上是減函數，在[

2

，+∞)上是增函數；
函數y=x+

3

x

在(0，

3

]上是減函數，在[

3

，+∞)上是增函數；
∴函數y=x+

p

x

（p為正常數）在（0，

p

]上是減函數，在[

p

，+∞）上是增函數；
∵函數y=x+

3m

x

(x＞0)的值域是[6，+∞），
∴函數在x=

3m

取得最小值為6，
∴

3m

+

3m

3m

=6，
解得m=2，故答案為2．

點評：此題考查基本不等式的性質和學生的歸納與類比的能力，考查函數y=y=x+

p

x

性質是高考經常出現的題型，在今后學習過程中要注意．