Question

【題目】關于x的方程kx2﹣2lnx﹣k=0有兩個不等實根，則實數k的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（0,1）∪（1,+∞）
【解析】解：關于x的方程kx2﹣2lnx﹣k=0，

顯然x=1，k﹣2ln1﹣k=0成立；

則方程的另一個根為x＞0且x≠1，

若k=1，則方程為x2﹣2lnx﹣1=0，

由y=x2﹣2lnx﹣1，導數為2x﹣ = ，

可得x=1為極小值點也為最小值點，

則x2﹣2lnx﹣1=0只有一解x=1．

當x＞1時，方程可化為k= ，

由f（x）= ，x＞1，

f′（x）= ，

令g（x）=2x﹣ ﹣4xlnx，x＞1，

可得g′（x）=2+ ﹣4（1+lnx）= ﹣2﹣4lnx，

顯然g′（x）在x＞1遞減，即有g′（x）＜g′（1）=0，

則g（x）在x＞1遞減，即有g（x）＜g（1）=0，

即有f（x）在（1，+∞）遞減；

同樣當0＜x＜1時，f（x）遞減，

且有f（x）＞0在x＞0且x≠1恒成立，

則當k＞0且k≠1時，原方程有兩個不等實根．

所以答案是：（0，1）∪（1，+∞）．